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5.3.2 Filtrage et calcul des métriques

Le signal reçu est d'abord filtré par un filtre de réception, il est ensuite converti en bande de base. Sans perte de généralité la phase $ \varphi_0$ est désormais supposée égale à zéro. Les composantes normalisées en phase et en quadrature du signal reçu en bande de base, notées respectivement $ I_r(t)$ et $ Q_r(t)$ sont données par l'équation suivante:

$\displaystyle I_r(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\left(\theta\left(\underline{u},t\right)+\theta_n\right)+X(t)$  
$\displaystyle Q_r(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\left(\theta\left(\underline{u},t\right)+\theta_n\right)+Y(t)$  

La première étape consiste à projeter le signal reçu sur une période symbole sur l'espace signal généré par les différentes impulsions transmises. Cette opération s'effectue en filtrant le signal reçu par les filtres adaptés aux différentes impulsions transmises. Cette projection permet, entre autre, d'éliminer la contribution de la composante du bruit en dehors de l'espace signal. Il existe $ pM^L$ impulsions différentes sur chacune des voies en phase et en quadrature. Ainsi, le signal reçu sur une période symbole est d'abord représenté par deux vecteurs chacun de taille $ pM^L$. Ces deux vecteurs sont combinés pour produire un vecteur de taille $ pM^L$. A l'instant $ kT$ la composante d'ordre $ i$, $ 1 \leq i \leq pM^L$, du vecteur coordonnées, noté $ r_k(t)$, est donnée par l'expression:
$\displaystyle r_k(i)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{kT}^{(k+1)T}I_r(t)\cos(\theta(\underline{\hat{u}},t-kT)+\hat{\theta})$  
  $\displaystyle -$ $\displaystyle \int_{kT}^{(k+1)T}Q_r(t)\sin(\theta(\underline{\hat{u}},t-kT)+\hat{\theta})$  

Ce calcul est effectué pour toutes les $ p$ valeurs possibles de l'état de phase $ \hat{\theta}$ et les $ M^L$ valeurs possibles de $ \underline{\hat{u}}$. Les coordonnées obtenues permettent de calculer la métrique de chaque transition dans le treillis. Les métriques élémentaires peuvent être interprétées comme étant le résultat de l'intercorrélation entre les composantes en phase et en quadrature du signal reçu et une impulsion temporelle de durée $ T$. Les différentes impulsions sont données par $ \cos(\theta(\underline{\hat{u}},\tau)+\hat{\theta})$ et $ \sin(\theta(\underline{\hat{u}},\tau)+\hat{\theta})$.
Le vecteur $ r_k$ peut aussi être obtenu, d'une manière équivalente, en considérant la sortie de $ 2pM^L$ filtres adaptés échantillonnées toutes les $ T$ secondes. Les réponses des différents filtres sont adaptés aux différentes impulsions en phase et en quadratures transmises.


Désormais, et pour des raisons de simplicité, on travaillera dans le domaine complexe, les opérations de filtrage et de calcul des métriques sont effectuées dans le corps des complexes $ \mathbb{C}$. On considère un banc de $ pM^L$ filtres adaptés dont les réponses sont adaptées aux différentes impulsions susceptibles d'être transmise. Ces impulsions sont notées $ \{\phi_{1},\, \phi_{2}, \, \cdots, \, \phi_{pM^L}\}$, et s'écrivent sous la forme:

$\displaystyle \phi_{i}(\tau)=\exp\left(-j\left(\hat{\theta_k}+\theta\left(\underline{\hat{u}},T-\tau\right)\right)\right) \qquad 0\leq \tau \leq T$    

La sortie (complexe) de ce banc de filtres à un instant $ kT$ sera toujours notée $ r_k$. La métrique d'une transition $ x$ est donnée par la probabilité conditionnelle du signal reçu sachant $ x$.

$\displaystyle p(r_k\vert x)\sim \exp\left(-\left(r_k-m\right)\Lambda^{-1}\left(r_k-m\right)^{*}\right)$ (5.2)

Le vecteur $ m$ représente la moyenne de la variable gaussienne $ (r_k\vert x)$ et $ \Lambda$ sa matrice de covariance qui est symétrique et positive. En supposant que la transition $ x$ en question correspond à l'impulsion $ \phi_{i_0}$ avec $ 1\leq \i_0 \leq pM^L$ alors le vecteur $ m$ et la matrice $ \Lambda$ sont calculés de la façon suivante:
$\displaystyle m(i)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^T \phi_{i_0}(\tau)\phi_{i}^*(\tau) d\tau \qquad 1\leq i \leq pM^L$  
$\displaystyle \Lambda(i,j)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N_0\int_0^T \phi_{j}(\tau)\phi_{i}^*(\tau) d\tau \qquad 1\leq i,j \leq pM^L$  

sachant que toutes les impulsions $ \phi_i$ ont le même module, la métrique peut être calculée comme suit:

$\displaystyle p(r_k\vert x)\sim \exp\left(2Re(r_k\Lambda^{-1}m^{*})\right)$    

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