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5.3.2.1 Réduction du nombre des filtres adaptés

En réalité, l'ensemble des impulsions $ \phi_i$ peut être divisé en $ M^L$ sous-ensembles contenant chacun $ p$ impulsions qui ne diffèrent que par la valeur de la phase $ \hat{\theta}$. Les impulsions appartenant à une même classe sont corrélées d'une façon déterministe (proportionnelles). On peut ainsi montrer que les filtres appartenant à une même classe véhiculent exactement la même information, il suffit alors de considérer une seule impulsion par classe pour projeter le signal reçu. Dans ce cas, la matrice $ \Lambda$ est définie positive et donc inversible. Ainsi, $ M^L$ filtres suffisent pour obtenir une métrique suffisante sans aucune dégradation des performances. Comme on peut le voir, le nombre des filtres nécessaires peut prendre des valeurs assez élevées dès que des schémas CPM non triviaux sont adoptés. Il est ainsi nécessaire de trouver une technique qui permet de réduire le nombre des filtres nécessaires d'une manière efficace. La méthode adoptée a été proposée par Moqvist et al. [41].


Considérons le vecteur $ r_k$ à la sortie du banc de filtre à un instant $ kT$, ce vecteur est gaussien, sa matrice d'autocorrélation est notée $ \Lambda$, elle est hermitienne et donc diagonalisable et peut se décomposer sous la forme:

$\displaystyle \Lambda=P\,\Lambda_0\,P^T$    

Où $ \Lambda_0$ est une matrice diagonale:

$\displaystyle \Lambda_0=P^{T}\,\Lambda\,P=diag\,(\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{N_{0}})$    

Les $ \lambda_i$ sont les valeurs propres de $ \Lambda$ et $ P$ une matrice orthogonale, soit $ PP^T=I$.
Maintenant, considérons le vecteur $ r'_k$ donné par $ r'_k=P\,r_k$. Par linéarité, ce vecteur est gaussien et sa matrice d'autocorrélation est égale à $ \Lambda_0$, ce qui signifie que les composantes de ce vecteur sont indépendantes (décorrélées). Dans la pratique, le vecteur $ r'_k$ peut être obtenu en filtrant le signal à la sortie du filtre passe bas par l'ensemble de filtres images des filtres de départ par l'application linéaire associée à la matrice $ P$. Les différentes impulsions associées au nouveau banc de filtres sont données par:

$\displaystyle (\psi_1, \, \psi_2,\, \cdots \psi_{M^L})=P(\phi_1, \phi_2 \cdots \phi_{M^L})^T$    

L'intérêt de ces nouveaux filtres réside dans le fait qu'ils sont décorrelés mais surtout que l'information utile est essentiellement contenue dans la sortie d'un très faible nombre de filtres qui correspondent aux valeurs significatives des $ \lambda_i$. En effet, en pratique, la majorité des $ \lambda_i$ sont très proches de zéro et leur contribution dans la métrique de la transition est très faible. La réduction du banc de filtre s'effectue alors en omettant les filtres qui leurs sont associés. Le critère de sélection consiste à ne pas tenir compte des filtres dont la valeur propre associée $ \lambda_i$ est très faible devant $ \lambda_{max}=\max\left(\lambda_k\right)_{1\leq k\leq M^L}$:

$\displaystyle \frac{\lambda_i} {\lambda_{max}} \leq \varepsilon \qquad$    

Exemple: La 3 RC binaire, h=1/2
On considère la CPM binaire $ 3RC$ avec un indice de modulation $ h=\frac{1}{2}$. La figure 5.3 montre les réponses impulsionnelles des filtres de départ (parties en phase et en quadrature) ainsi que les nouveaux filtres après réduction qui permettent d'engendrer quasiment le même espace signal. Dans ce cas, les valeurs propres telles que $ \frac{\lambda_i}{\lambda_{max}} \leq 10^{-3} $ sont négligées. Comme c'est indiqué sur la figure 5.3, on passe d'un ensemble de $ 8$ filtres à $ 3$ filtres.

Figure 5.3: Réduction du banc de filtres pour la 3RC binaire h=1/2, $ \varepsilon =10^{-3}$
\includegraphics[width=6.5cm]{espace_depart.eps}
\includegraphics[width=6.5cm]{espace_reduit.eps}
La matrice de corrélation des différentes sorties du nouveau banc des filtres est donnée par:

$\displaystyle {\cal R}= \begin{pmatrix} 14.545 & 0 & 0 \\ 0 & 1.407& 0 \\ 0 & 0 & 0.0456 \\ \end{pmatrix}$    

On retrouve ici le fait que les différentes sorties sont complètement décorrélées. On remarque aussi qu'une grande partie de l'énergie du signal est transmise par la première impulsion. Pour évaluer les pertes, on a comparé la puissance des différentes impulsions qui génèrent l'espace signal avant et après réduction. Ces puissances sont notées respectivement $ E_1$ et $ E_0$. Cette perte n'est pas très significative comparée au gain dû à la réduction de complexité.
$\displaystyle E_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle pM^L}\lambda_i^2=16$  
$\displaystyle E_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle N_{red}}\lambda_i^2= 15.9976\ $  

La perte normalisée $ \Delta E$ peut s'écrire:

$\displaystyle \Delta E=\frac{E_1-E_0}{E_1}=1.5 10^{-4}$    


En général pour un seuil donné le gain en complexité est fonction du schéma CPM. Le tableau 5.1 illustre la réduction du nombre des filtres adaptés pour quelques schémas CPM.

Tableau 5.1: Réduction du nombre des filtres adaptés pour quelques schémas CPM
Schéma CPM $ N_{opt}=M^L$ \begin{displaymath}\begin{array}{l} N_0 (\varepsilon =10^{-6}) \\ \end{array}\end{displaymath} \begin{displaymath}\begin{array}{l} N_0( \varepsilon =10^{-3} ) \end{array}\end{displaymath}
1REC, M=2, h=1/2 2 2 2
2RC, M=2, h=2/3 4 4 3
3RC, M=2, h=4/5 8 5 4
3RC, M=2, h=1/2 8 5 3
5RC, M=2, h=1/2 32 4 3
1REC, M=4, h=1/4 4 4 3
1REC, M=4, h=4/9 4 4 4
2RC, M=4, h=1/4 16 5 3
3RC, M=4, h=1/2 64 6 4
1REC, M=8, h=1/4 8 6 4
1REC, M=8, h=5/11 8 8 6
2RC, M=8, h=1/4 64 7 5
3RC, M=8, h=1/2 512 9 6



Il est important de rappeler ici que la réduction du nombre des filtres adaptés ne signifie pas une réduction de la complexité du processus de décodage. La structure du treillis de la CPM reste inchangée et garde une même complexité. Seul le calcul des métriques des transitions est simplifié.


Les filtres adaptés sont fonction du schéma CPM et doivent être modifiés lors d'une transition d'une forme d'onde vers une autre. Le nombre total des filtres adaptés est noté $ 2N_f$ dont $ N_f$ filtres en phase et $ N_f$ filtres en quadrature. Ce nombre peut être soit $ 2N_f=2M^L$ si les filtres optimaux sont utilisés, soit $ 2N_f \leq 2M^L$ dans le cas où des bancs de filtres réduits sont utilisés. $ M$ étant l'ordre de la modulation et $ L$ la longueur de la réponse en fréquence en temps symbole.
Les sorties des filtres adaptés sont ensuite échantillonnées à chaque période symbole, l'instant optimal d'échantillonnage étant toujours à la fin de la durée du symbole. la sortie relative à un symbole s'étend toujours sur un intervalle de longueur $ 2T$. La figure 5.4 illustre un exemple de sorties du banc de filtre dans le cas d'une 2RC binaire avec h=1/2.

Figure 5.4: Allure de la sortie du banc de filtres adaptés dans le cas d'une 2 RC binaire h=1/2, module (droite), phase (gauche)
\includegraphics[width=6.5cm]{filter_output_module.eps}
\includegraphics[width=6.5cm]{filter_output_phase.eps}
L'ensemble des échantillons est ensuite exploité pour effectuer le processus de décodage.


Les $ N_f$ sorties du banc des filtres permettent de calculer la métrique de chaque transition dans le treillis de la CPM comme c'est indiqué sur la figure 5.5.

Figure 5.5: Calcul des métriques des transitions
\begin{figure} \begin{center} \input{figures/metric_compt.pstex_t} \end{center} \end{figure}
Dans la formule du calcul de la métrique, la matrice $ \Lambda$ est de taille $ N_f \times N_f$. Elle représente la matrice d'autocorrélation du vecteur obtenu à la sortie du banc de filtre, c'est aussi, à un coefficient multiplicatif près, la matrice d'intercorrélation entre les différentes réponses impulsionnelles du banc des filtres. $ \Lambda$ est une matrice diagonale si le banc de filtres réduit est adopté, cette matrice est fonction du schéma CPM et de la puissance du bruit du canal $ N_0$. Le stockage $ \Lambda$ nécessite ainsi une mémoire dont la taille est de $ N_f\times N_f \times N_q$ bits où $ N_q$ est le nombre des bits de quantification. Dans le cas où le banc de filtres réduit est utilisé, et puisque $ \Lambda$ est diagonale, seules les valeurs diagonales sont stockées, ainsi la mémoire requise est de $ N_f \times N_q$ bits contre $ M^{2L}\times N_q$ bits dans le cas optimal. Le tableau 5.2 illustre le gain que nous pouvons réaliser en adoptant des filtres réduits au lieu des filtres optimaux, la quantification est effectuée sur quatre bits.

Tableau 5.2: Mémoire requise (en bits) pour le stockage de la matrice d'intercorrélation des filtres adaptés
Paramètres de la CPM Mémoire Requise (en bit)

Filtres optimaux

 Mémoire requise (en bit)

Filtres réduits $ \varepsilon =10^{-3}$
1REC, M=2, h=1/2 16 8
2RC, M=2, h=2/3 64 12
3RC, M=2, h=4/5 256 16
2RC, M=4, h=1/4 1024 12
5RC, M=2, h=1/2 4096 12
3RC, M=4, h=1/2 16384 16


Le vecteur $ m$ représente la sortie idéale sans bruit du banc de filtres. Ce vecteur représente aussi les coordonnées d'une impulsion donnée dans l'espace global généré par l'ensemble de toutes impulsions. Un vecteur $ m$ est ainsi associé à chaque transition dans le treillis de la CPM, il existe alors $ pM^L$ vecteurs chacun est de taille $ N_f$. Ces vecteurs sont fonction de la CPM et doivent aussi être stockées dans la mémoire du récepteur, la taille de cette mémoire est de $ pM^L\times N_f\times N_q$ bits. le tableau 5.3 montre la taille de la mémoire requise pour quelques schémas CPM. L'utilisation des bancs des filtres réduits permet de minimiser considérablement la mémoire requise sans dégrader les performances.

Tableau 5.3: Mémoire requise (en bits) pour le stockage des différents vecteurs $ m$, quantification sur quatre bits
Paramètres de la CPM Mémoire requise (en bit)

Filtres optimaux

 Mémoire requise (en bit)

Filtres réduits $ \varepsilon =10^{-3}$
1REC, M=2, h=1/2 32 32
2RC, M=2, h=2/3 192 144
3RC, M=2, h=4/5 1280 640
2RC, M=4, h=1/4 4096 192
5RC, M=2, h=1/2 8192 768
3RC, M=4, h=1/2 16384 1024


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