3.3.2.1 Calcul de la distance minimale

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3.3.2.1 Calcul de la distance minimale

Ce paragraphe se consacre au calcul de la distance minimale des modulations CPM afin d'analyser les effets de chaque paramètre sur les performances en puissance de la forme d'onde. Le calcul de la distance minimale est impossible en pratique car il suppose que nous considérions des séquences de taille infinie ce qui est irréalisable. Cette distance minimale est approchée par une borne supérieure (upper bound) notée $d_{B}^2$ estimée sur une durée de quelques symboles. Dans ce paragraphe, l'écriture classique des signaux CPM est adoptée et non pas celle proposée par Rimoldi. Ce choix n'affecte pas le résultat final. Le signal transmis s'écrit alors comme dans l'équation 3.1, soit:

$\displaystyle s(\underline{a},t)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos(2\pi f_{0}t+\varphi(\underline{a},t)+\varphi_0)$

Considérons deux signaux CPM qui correspondent à deux séquences disjointes $\underline{a_1}$ et $\underline{a_2}$ de même taille N, alors la distance entre les deux signaux relatifs à ces séquences s'écrit [5]:

$\displaystyle d^2=log_2(M)\frac{1}{T} \int_0^{NT}1-\cos(\varphi(A,t)) dt$

(3.5)

Où

est la séquence différence entre les séquences $\underline{a_1}$ et $\underline{a_2}$ :

$\displaystyle A(k)=\underline{a_1}(k)-\underline{a_2}(k)\qquad 0 \leq k\leq N-1$

Le calcul de la distance minimale doit s'effectuer en trouvant le minimum de l'équation 3.5 sur toutes les séquences

possibles. Il est important de mentionner qu'une seule séquence

peut correspondre à la différence de plusieurs paires de séquences transmises. Les paires de séquences qui nous intéressent sont celles dont les trajectoires des phases relatives divergent à l'instant 0 et coincident pour la première fois et à jamais à un instant

avec $K \geq 1$ . On montre dans [5] que le premier instant auquel on peut assister à la fusion de deux trajectoires se produit à l'instant

, où

est la longueur de la réponse en fréquence. La figure 3.10 montre les différentes trajectoires de la phase $\varphi(A,t)$ dans le cas de la 3RC binaire,

. Comme nous pouvons le voir, le premier instant où cette phase rejoint à jamais la valeur zéro se produit à l'instant

**Figure 3.10:** Trajectoires de phase dans le cas d'une 3RC binaire, h=1/2
$\includegraphics[width=8cm]{phase_traj_3rc.eps}$

La borne supérieure d'ordre

est définie par:

$\displaystyle d_{B}^2=\min\left(log_2(M)\frac{1}{T}\int_0^{(L+K)T}1-\cos(\varphi(A,t))dt\right)$

Une première approche consiste alors à prendre comme borne supérieure celle qui est d'ordre minimale. Cet ordre est égal à

où

est la longueur de la réponse en fréquence. Cette approche n'est pas toujours vérifiée et d'autres bornes d'ordres supérieurs peuvent donner une meilleure approximation de la distance minimale notamment dans le cas des CPM à réponse partielle. Une explication plus détaillée concernant le calcul d'une borne supérieure pour les CPM se trouve dans [5].

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