3.2.1 Les Signaux CPM

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3.2.1 Les Signaux CPM

Considérons une séquence de

symboles M-aires $a_{i}\in(\pm{1},\pm{2},\ldots,\pm{(M-1)})$ à transmettre et que l'on notera $\underline{a}=(a_0, \, a_1, \cdots a_{N-1}, \,a_N)$ . Le signal CPM transmis relatif à cette séquence peut être écrit sous la forme:

$\displaystyle s(\underline{a},t)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos(2\pi f_{0}t+\varphi(\underline{a},t)+\varphi_0)$

(3.1)

Où

est la fréquence porteuse et $\varphi_0$ une phase aléatoire dans $[0 \, 2\pi]$ .

étant l'énergie par symbole et T sa durée. L'information utile est contenue dans la phase du signal qui s'écrit sous la forme:

$\displaystyle \varphi(\underline{a},t)=2\pi h \sum_{\scriptstyle i=0}^{ \scriptstyle N}a_{i}\,q(t-iT)$

Le paramètre

désigne l'indice de la modulation, il est souvent rationnel et inférieur à 1. Dans la suite du manuscrit il sera désigné par:

$\displaystyle h=\frac{u}{p} \qquad u\,\, \textrm{et}\, \, p\; \textrm{premiers entre eux}$

La fonction

est une primitive d'une fonction

dite réponse en fréquence:

$\displaystyle q(t)=\int_{0}^{t}g(\tau)\,d\tau$

La réponse en fréquence

a son support temporel qui est égal à l'intervalle $[0 \; LT]$ où

est un entier strictement positif.
Afin d'obtenir une forme d'onde avec de bonnes performances, la réponse en fréquence

est positive et doit avoir une intégrale qui vaut 1/2 [5], soit:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty}g(\tau)\,d\tau=\int\limits_{0}^{LT}g(\tau)\,d\tau=\frac{1}{2}$

Les mises en forme les plus utilisées en pratique sont illustrées ci-dissous:

$\displaystyle %%\label{eq:gdet} \textrm{Rectangle: REC} \qquad$	$\displaystyle g(t)=$	$\begin{displaymath}\begin{cases}\frac{1}{2LT}& 0\leq t\leq LT\\ 0& \textrm{sinon} \end{cases}\end{displaymath}$
$\displaystyle \textrm{cosinus sur\'elev\'e: RC} \qquad$	$\displaystyle g(t)=$	$\begin{displaymath}\begin{cases}\frac{1}{2LT}(1-\cos(\frac{2\pi t}{LT}))& 0\leq t\leq LT\\ 0 & \textrm{sinon}\\ \end{cases}\end{displaymath}$
$\displaystyle \textrm{Gaussienne: GMSK} \qquad$	$\displaystyle g(t)=$	$\displaystyle \frac{1}{2T}Q\left(2\pi B \frac{t-\frac{T}{2}}{\sqrt{\ln(2)}}\right)-\frac{1}{2T}Q\left(2\pi B \frac{t+\frac{T}{2}}{\sqrt{\ln(2)}}\right)$
$\displaystyle \textrm{avec} \qquad Q(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_t^{+\infty} \exp(-\frac{\tau^2}{2})d\tau=\frac{1}{2} erfc(\frac{t}{\sqrt{2}})$	(3.2)

Dans le cas d'une gaussienne, la réponse en fréquence est tronquée afin de limiter son support temporel. La troncature doit s'effectuer avec une perte minimale. La longueur de la réponse en fréquence tronquée est fonction du paramètre . Ce paramètre est souvent réglé afin d'obtenir les propriétés spectrales souhaitables. La figure 3.1 montre les allures des mises en forme Gaussienne, Rectangulaire et en cosinus surélevé. La figure 3.2 montre les allures des fonctions correspondantes.

**Figure 3.1:** Forme de la réponse en fréquence dans le cas de la 2REC, de la 2RC et d'une GMSK avec
$\includegraphics[width=6.5cm]{gdet.eps}$

**Figure:** Forme de la réponse de phase dans le cas de la 2REC, de la 2RC et d'une GMSK avec
$\includegraphics[width=6.5cm]{qdet.eps}$

Une modulation CPM est parfaitement définie par quatre paramètres:

L'ordre de la modulation noté
L'indice de la modulation noté
La réponse en fréquence notée
La longueur de la réponse en fréquence notée

Il existe deux types de modulations CPM: les CPM à réponse totale (Full Response)[8], correspondent à une réponse en fréquence de longueur (). Les CPM à réponse partielle (partial Response) [7] correspondent à une longueur de la réponse en fréquence égale à où $L\geq 2$ .

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