Application aux Futurs Systèmes Multimédia par Satellite en Bande Ka'> 4.5 Analyse de la Convergence

4.5 Analyse de la Convergence

L'évaluation des performances d'un schéma de codage avec décodage itératif par le biais de simulation du taux d'erreur binaire nécessite souvent beaucoup de temps et de ressources. L'etude de l'évolution de l'information extrinsèque est une solution assez attractive. Elle permet d'analyser les performances du schémas de codage, mais aussi de fournir une estimation du TEB. Cette méthode a été proposée au départ par S. Ten Brink dans [16].
Lors d'un processus de décodage itératif, l'évolution de l'information extrinsèque d'une itération à une autre permet d'améliorer les performances de décodage. Une étude de cette information constitue un moyen qui permet d'analyser l'évolution des performances du processus de décodage avec les itérations. Dans [15], Berrou et al. montrent que lorsque le processus de décodage converge, la distribution de l'information extrinsèque peut être modélisée par une gaussienne dont la moyenne et la variance augmentent avec les itérations. Pour des raisons de clarté, et par rapport aux notations que nous avons considéré dans ce chapitre, l'information extrinsèque d'un bit

, notée

est définie dans ce paragraphe par:

$\displaystyle Ext_l(c_k)=\ln\left(\frac{Ext(c_k/1)}{Ext(c_k/0)}\right)=\ln\left(\frac{APP(c_k/1)}{APP(c_k/0)}\right)-ln\left(\frac{\pi(1)}{\pi(0)}\right)$

Où

est l'information extrinsèque du bit

définie dans le paragraphe 4.3.2 de ce chapitre. L'approximation de la distribution des informations extrinsèques par une gaussienne est aussi vérifiée dans le cas d'une concaténation série mais aussi dans le cas d'un code convolutif concaténé avec une modulation CPM [38]. Cette modélisation permet de caractériser l'information extrinsèque, seulement par sa moyenne $\mu$ et sa variance $\sigma^2$ . La figure 4.17 montre l'évolution de la distribution de l'information extrinsèque à l'entrée du SISO de la CPM et celui du code convolutif dans le cas d'une 3RC binaire avec

concaténée avec le code (7,5) et pour un rapport

Figure 4.17: Evolution de la distribution de l'information extrinsèque à l'entrée du SISO de code convolutif et du SISO de la CPM, cas d'une 3RC binaire h=1/2, code(7.5),

$\includegraphics[width=6.5cm]{ext_cpmin_3rc_075dB.eps}$

$\includegraphics[width=6.5cm]{ext_ccin_3rc_075dB.eps}$

Les résultats obtenus correspondent à la transmission d'un paquet de

bits de données soit

bits de code. Comme on peut le remarquer, l'approximation gaussienne est bien vérifiée dans ce cas à partir d'un certain nombre d'itérations, ce nombre augmente pour les faibles rapports

. En dessous d'une valeur seuil du

, dite seuil de décodage, l'information extrinsèque n'évolue plus en fonction des itérations. Pour cette gamme de valeurs de

le processus de décodage converge vers un

fini non nul et ceci même pour une taille d'entrelaceur infinie et après un nombre infinie d'itérations. Ce fait justifie l'existence, sur la courbe du

, d'une zone où le

n'évolue pas en fonction des itérations et du

, gardant une valeur quasi constante, cette zone est dite zone de non convergence. La figure 4.18 montre la distribution de l'information extrinsèque pour une valeur du $E_b/N_0=0.4\,dB$ (même forme d'onde que dans le cas précédent).

Figure 4.18: Evolution de la distribution de l'information extrinsèque à l'entrée du SISO de code convolutif et du SISO de la CPM, cas d'une 3RC binaire h=1/2, code(7.5),

$\includegraphics[width=6.5cm]{ext_cpmin_3rc_04dB.eps}$

$\includegraphics[width=6.5cm]{ext_ccin_3rc_04dB.eps}$

Le modèle gaussien de la distribution de l'information extrinsèque permet de définir un SNR associé à cette information par $SNR=\mu^2/\sigma^2$ . Cette définition est à ne pas confondre avec le du signal reçu. Dans [27], un module SISO a été modélisé par un système non linéaire dont l'entrée et la sortie sont données par le associé à l'information extrinsèque. La description du fonctionnement de chaque module est donnée par une fonction de transfert qui donne le à la sortie du module en fonction de celui à son entrée. La fonction de transfert du module SISO CPM (respectivement SISO CC) est définie par l'équation $SNR1_{out}=G1(SNR1_{in})$ (respectivement $SNR2_{out}=G2(SNR2_{in}$ )) comme illustré sur la figure 4.19.

**Figure 4.19:** Définition de la fonction de transfert d'un module SISO
$\begin{figure} \begin{center} \input{figures/transfert_snr.pstex_t} \end{center} \end{figure}$

L'étude de l'évolution du en fonction des itérations constitue un moyen efficace d'analyse du comportement du décodeur. Une technique qui permet de réaliser cette étude consiste à tracer sur un même diagramme de convergence (dit EXIT chart) la fonction de transfert et la fonction réciproque de la fonction de transfert notée $G2^{-1}$ . Cette représentation permet de visualiser l'évolution du suite au passage dans chacun des modules SISO [25]. La figure 4.20 montre l'allure de ce diagramme dans le cas de la 3RC binaire concaténée avec le code (7,5) pour différentes valeurs du .

**Figure 4.20:** Diagramme de convergence d'une 3RC binaire, h=1/2, concaténée avec le code (7,5)
$\includegraphics[width=8.5cm]{tunnel_3rc.eps}$

L'amélioration du

ne s'effectue pas d'une façon linéaire en fonction des itérations. Et effet, il existe une zone, dite tunnel, dans laquelle le

évolue très sensiblement en fonction des itérations traduisant une très faible amélioration dans le processus de décodage. Au delà du tunnel, on remarque que le

augmente de plus en plus vite d'où une vitesse de convergence plus élevée. Le nombre des itérations nécessaires pour traverser le tunnel (qui est fonction de l'espacement entre les deux courbes) est plus élevé pour les faibles

. Au début du décodage on suppose que tous les bits transmis ont la même probabilité a priori, ainsi la valeur initial de $SNR1_{in}$ est égale à zéro. Par contre, la valeur initiale de $SNR1_{out}$ est fonction du rapport

, plus précisément c'est une fonction croissante de ce rapport comme c'est illustré sur la figure 4.20. On peut aussi remarquer que le processus de décodage converge plus vite pour les valeurs plus élevées du

.
Une diminution du

en dessous d'un certain seuil, dit seuil de décodage, résulte à l'intersection des deux courbes. A partir de ce point d'intersection, le SNR n'évolue plus avec les itérations et les performances de décodage ne s'améliorent plus même pour un entrelaceur de taille infinie. Les simulations pour une valeur de

montrent que, dans ce cas, le tunnel se ferme comme c'est illustré sur la figure 4.21. Pour cette valeur du

on remarque que le

est majoré et il n'évolue plus à partir d'un certain nombre d'itération. Le processus de décodage converge alors vers un taux d'erreur binaire non nul quand on augmente le nombre des itérations. La valeur finale du

est fonction du

au moment de la fermeture du tunnel. Dans le cas de la 3RC binaire, h=1/2, concaténée avec le code (7,5) le seuil de décodage est voisin de

dB, alors qu'il est de l'ordre de 1.05 dB dans le cas de la

avec

concaténée avec le même code.

**Figure 4.21:** Diagramme de convergence d'une 3RC binaire, h=1/2, concaténée avec le code (7,5),
$\includegraphics[width=8cm]{tunnel_3rc_04dB.eps}$

Un autre outil d'analyse du processus itératif consiste à étudier l'évolution du après le passage dans les deux SISO. Cette étude est effectuée grâce à la définition d'un facteur de bruit (dit Noise Figure)[25] par $F=SNR1_{in}/SNR2_{out}$ . Vue que le SISO CPM ne dispose d'aucune information a priori au début du processus de décodage la valeur initiale du facteur du bruit est égale à zéro. Cette valeur augmente ensuite avant d'atteindre un maximum. En cas de convergence, le facteur du bruit diminue ensuite avec les itérations traduisant l'amélioration du en fonction des itérations. Dans le cas contraire, le facteur de bruit continue à augmenter avec les itérations tout en ayant une valeur très porche de . La figure 4.22 montre l'évolution du facteur de bruit pour la même forme d'onde considérée précédemment et pour différentes valeurs du .

**Figure 4.22:** Evolution du facteur de bruit en fonction des itérations dans le cas d'une 3RC binaire avec
$\includegraphics[width=8.5cm]{noise_figure_3rc.eps}$

Sous-sections

- 4.5.0.1 Application du diagramme de convergence

Back to the Homepage.