4.1.2.2 Exemple: le code (7,5)

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4.1.2.2 Exemple: le code (7,5)

Considérons le code convolutif simple de rendement

, de longueur de contrainte

et dont le codeur associé est illustré sur la figure 4.2. A chaque bit à l'entrée du codeur deux bits lui sont associés à sa sortie, le mot de code dépend du contenu du registre à décalage et du bit d'entrée comme indiqué.

**Figure 4.2:** Structure d'un codeur convolutif de rendement 1/2 et de longueur de contrainte 3
$\includegraphics[width=7cm]{codeur_convolutif.eps}$

Une technique de modélisation du processus de codage consiste à définir un ensemble de

vecteurs, ici

, dont chacun décrit la connexion entre le registre à décalage et une porte logique XOR. Chaque vecteur est ainsi de taille $k\times K$ , l'existence d'une connexion est désignée par un

, son absence est désignée par un 0. Par exemple, le premier vecteur qui correspond au codeur de la figure 4.2 est donné par $g_1=[1\; 1\; 1]$ alors que le second vecteur est donné par $g_2=[1\; 0\; 1]$ . On peut ainsi définir la matrice

qui permet de caractériser le code par:

$\displaystyle G= \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\; 1\; 1 \\ 1\;0\; 1\\ \end{pmatrix}$

La sortie du codeur est obtenue en effectuant la multiplication matricielle modulo(2) du vecteur contenant les $k\times K$ derniers bits d'information par la matrice

. Pour simplifier les notations, les vecteurs

sont souvent représentés sous forme d'entiers en base

, dans notre cas, la matrice

s'écrit alors

. On peut aussi écrire cette matrice sous une forme polynômiale, soit dans notre exemple $G=(1+D+D^2,\,1+D^2)$ .

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